数学2017年全国高考理科(III)第21题解析

已知函数f(x)=x-1-alnx

(1)若f(x)≥0,求a的值;

(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+2-1)(1+2-2)(1+2-n)<m,求m最小值。


第一题很明显先求导,然后判断这个函数的单调性

f'(x)=1-x-a,令f'(x)=0,求出x=a

①a≤0,那么f'(x)恒大于0,f(x)在0到正无穷单调递增

f'(x)的图像

f(x)的图像

很明显,不符合题目的f(x)≥0

①a>0.那么f'(x)在0到a之间小于0,a到正无穷大于0,所以f(x)在0到a之间单调递减,在a到正无穷单调递增

f'(x)的图像

f(x)的图像

此时f(x)的最小值是f(a),因为题目说f(x)≥0,所以f(a)=0,又因为f(1)=0,所以a=1

(2)由(1)可知,当a=1时,f(x)=x-1-lnx≥0,即lnx≤x-1

可推出lnx+1≤x,令x=1+2-n得ln(1+2-n)≤2-n【想到这一步是因为第二小题给出(1+2-1)(1+2-2)(1+2-n)这样的式子

并且,此时不取等号了,因为此时(1+2-n),必然大于1。所以,此时x必然大于1,因此取不到等号

(看图加深理解)

(如果还不能理解那就换元,令t=1+2-n>1,所以f(t)>0)

从而,ln(1+2-1)+ln(1+2-2)+……+ln(1+2-n2-1+2-2+2-n=1-2-n<1

(可带数字检验,2-1+2-2+2-3+2-4=1-2-4

两边同时把ln去掉(lnN=x,ex=N)

所以可以得到上图的式子,由于e≈2.718281828459

因为m是整数,所以,m的最小值是3。


本文标题:数学2017年全国高考理科(III)第21题解析
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