数学2019年高考江苏卷19题解析

设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c属于R,f'(x)为f(x)的导函数。

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;

(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值;

(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤4/25。

解析:

(1)第一小题纯粹送分,直接带就行

f(x)=(x-a)3

f(4)=(4-a)3

a=2

(2)第二题老规矩,把未知数尽量减少

这里我把f(x)里所有的c换成b

f(x)=(x-a)(x-b)2到了这一步,我们直接简单粗暴地拆开

f(x)=(x-a)(x2-2bx+b2)=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2

按照套路来,我们求导

f'(x)=3x2-(2a+4b)x2+2ab+b2

不就是求零点吗?我们令f(x)以及f'(x)等于0就好了

令f(x)=0,那么x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2=0

令f'(x)=0,那么f'(x)=3x2-(2a+4b)x2+2ab+b2

然后,就没有然后了

这里的f(x)我们千!万!不!要!拆!开!

f(x)=(x-a)(x-b)2

那么f(x)的零点显而易见是a和b

f'(x)=(x-b)2+(x-a)(2x-2b)【前导后不导加后导前不导】=(x-b)2+2(x-a)(x-b)=(x-b)(3x-2a-b)

x-b=0,x=b,3x-2a-b=0,x=(2a+b)/3

f'(x)的零点是b和(2a+b)/3

接下来我们就可以快乐地求a和b了

零点的集合是{-3,1,3}

说明{(2a+b)/3,a,b}={-3,1,3}

下面我们要使用的方法相信很多人在小学就会了,那就是猜

这里有一个技巧,先从复杂的开始猜

也就是先猜(2a+b)/3的值

①(2a+b)/3=-3

这种情况可以直接排除,因为剩下的a和b是两个正数,不可能正数加正数再乘以3就变成一个负数

②(2a+b)/3=1

这种情况也是可以的,2a+b=3,那么如果a取3,b取-3就刚刚好满足

③(2a+b)/3=3

这种情况不可以,2a+b不论a和b哪个取1或者-3都满足不了2a+b=9

所以我们可以求出,a=3,b=-3

此时,我们很自然地就可以写出f(x)=(x-3)(x+3)2,f'(x)=3(x+3)(x-1)

算到这一步,f(x)的极小值不是手到擒来?

f'(x)图像(灵魂画手上线):

根据图像我们可以直观地看出f(x)的单调性(如果你想列表求单调性我不拦着你)

f(x)在(-∞,-3),(1,+∞)上单调递增,在(-3,1)上单调递减

众所周知,极小值在函数f(x)先减再增的地方,那么,此题最小值应该是在x=1的地方取到

把x=1带入f(x)可得f(1)=-32

(3)男人看了会沉默,女人看了会流泪的第三小题来了!

看第三小题,我们应该想一下,这个4/25是怎么来的,既然可以小于等于4/25,那么我们试试能不能找到这个特殊的点,也就是M=4/25

皇天不负有心人,因为0<b≤1,所以说明b=1肯定是一个特殊的值,我们把b=1带到f(x)试试

f(x)=x(x-1)²,f'(x)=(x-1)²+x(2x-2)【前导后不导加后导前不导】=(x-1)²+2x(x-1)=(x-1)(3x-1)

f'(x)图像(灵魂画手再次上线):

此时,极大值应该是x取1/3的地方取得

M=f(1/3)=4/27

OMG!4/27这个跟题目挂钩的值居然求出来了,既然4/27是x=1/3时f(x)的值,那么我们等一下肯定要把某个值和1/3扯上关系

刚才b的值我们带了1,现在b的值不确定,我们重新写一下f(x)和f'(x)

f(x)=(x²-x)(x-b)=x3-(b+1)x2+bx

f'(x)=3x²-2(b+1)x+bx

既然要求极大值,那么肯定要像第二小题那样求出f'(x)的零点

看到这么复杂的式子,我们先不要急着用求根公式或者因式分解求出具体的零点的值

我们设f'(x)的两个零点为x1和x2,并且x2>x1

f'(x)的图像:

易知f(x1)是f(x)的最大值

M=f(x1)=x13-(b+1)x12+bx1

既然要证明M≤4/27,那么我们x13-(b+1)x12+bx1≤4/27

接下来我们继续减少未知数,我们找找b和x1之间的关系

别忘了x1不仅仅是f(x)的极大值点,同时x1也是f'(x)的一个零点

f'(x1)=0

3x12-2x1=2bx1-b

b(2x1-1)=3x12-2x1

b=(2x12-2x1)/(2x1-2)

把b带回M,可得M=x13-[(3x12-2x1)/(2x1-1)+1]x12+x1(2x12-2x1)/(2x1-2)=[x12(x1-1)]/(1-2x1

接下来我们就可以求M的取值范围了,这里我们为了看得直观一点,我们换元

看到这里不要慌,有更加便捷的方式求M

经过观察发现,分子可以拆成2个平方差公式

为了求M的取值范围,我们构造函数h(t)=t3-t/2+1/16t(暂时把-1/2抛开)

求导h'(t)=3t²-1/2-1/16t²,这里我们求一下t的取值范围

既然t=x1-1/2,那么我们就求一下x1的范围,x1跟b的关系在上面,如果用b=(2x12-2x1)/(2x1-2)来求x1的范围,肯定是不现实的(太麻烦了)

我们试一下能否通过图像来求出x1的范围

上面我们带过点了,当b=1的时候x1=1/3,那么b≠1的话我们再来看看x1和b的关系

前面我们知道x=1/3的时候是一个特殊点,这里我们带入试试f'(1/3)=(b-1)/3<0顺便带一下f'(0)=b>0,那么说明f'(x)的零点大于0,如图所示


这说明了x1的范围应该是0<x1< 1/3

所以t的范围是-1/2<t<-1/6

t的范围求出来之后我们回到h'(t)=3t²-1/2-1/16t²,既然有个分母是未知数,我们就把整个式子写成分式,如图所示

这里我们因式分解一下,如果不会因式分解就用求根公式求解,分母16t²和分子(16t²+1)恒大于0我们就不管了

我们看(4t²-1),由于t的范围是-1/2<t<-1/6,所以(4t²-1)<0,即h'(t)<0,h(t)在-1/2<t<-1/6上单调递减

那么h(-1/6)<h(t)<h(-1/2)

h(-1/6)=-8/27,h(-1/2)=0

到了这边,不要忘了,我们刚才把-1/2留在了M的位置,我们现在拿回来

M=h(t)×(-1/2)

所以0<M<4/27

再把b=1的特殊情况和b≠1的情况综合一下,0<M≤4/27

总结第三小题的b先带特殊值1,然后求出了x=1/3时,M=4/27,接着我们有意识地把x1往1/3靠,最后通过一系列的换元,构造函数,求导解出最终答案

下面是规范解析:

小猿搜题版答案

学校公布的答案

本文标题:数学2019年高考江苏卷19题解析
本文链接:http://atboke.cn/?id=50
作者授权:除特别说明外,本文由 1803341472 原创编译并授权 啊涛博客 刊载发布。
版权声明:本文不使用任何协议授权,您可以任何形式自由转载或使用。
打赏

本文 暂无 评论

Top