数学2019年高考全国文科I卷第21题解析

已知点A,B关于坐标原点O对称,丨AB丨=4,圆M过点A,B且与直线x+2=0相切。

(1)若A在直线x+y=0上,求圆M的半径。

(2)是否存在定点P,使得当A运动时,丨MA丨-丨MP丨为定值?并说明理由。

解:

(1)遇到这种题,第一反应,画图

求半径肯定用用到半径的表达式,因为圆M和x=-2相切,设切点为H,所以丨MH丨=r

因为圆M过A,B点,所以圆心M必在AB的垂直平分线上,因为点A在直线x+y=0上,A,B关于坐标原点O对称,所以A,B都在x+y=0上

因此,M在x+y=0的垂直平分线,y-x=0上,设M(a,a)

所以丨MH丨=r=丨a+2丨

因为丨AB丨=4,所以丨AO丨=2,因为M(a,a),所以丨MO丨=√2a

根据垂径定理,∠MOA=90°

再根据勾股定理,丨MO丨²+丨AO丨²=丨MA丨²

4+2a²=(a+2)²

求出a=0或4,所以r=2或6

(2)第二题没说A,B具体在哪条直线,所以我们没办法知道M在哪条直线上,因此我们设M(x,y)

还是利用∠MOA=90°以及丨MO丨²+丨AO丨²=丨MA丨²,可列出:x²+y²+4=(x+2)²

可得,y²=4x,所以M点在抛物线上。

第二题要的是定点,很明显,抛物线的定点应该是焦点(1,0),我们试一下是不是焦点

如果P(1,0),那么丨MP丨=丨MN丨=x+1

丨MA丨-丨MP丨=r-丨MP丨=x+2-(x+1)=1,果真符合题目要的定值,说明P点就是抛物线的焦点。

本文标题:数学2019年高考全国文科I卷第21题解析
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