设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），a，b，c属于R，f'（x）为f（x）的导函数。
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'（x）的零点均在集合｛-3，1，3｝中，求f（x）的极小值；
（3）若a=0，0＜b≤1，c=1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤4/25。
解析：
（1）第一小题纯粹送分，直接带就行
f（x）=（x-a）3
f（4）=（4-a）3
a=2
（2）第二题老规矩，把未知数尽量减少
这里我把f（x）里所有的c换成b
f（x）=（x-a）（x-b）2到了这一步，我们直接简单粗暴地拆开
f（x）=（x-a）（x2-2bx+b2）=x3-（a+2b）x2+b（2a+b）x-ab2
按照套路来，我们求导
f'（x）=3x2-（2a+4b）x2+2ab+b2
不就是求零点吗？我们令f（x）以及f'（x）等于0就好了
令f（x）=0，那么x3-（a+2b）x2+b（2a+b）x-ab2=0
令f'（x）=0，那么f'（x）=3x2-（2a+4b）x2+2ab+b2
然后，就没有然后了
这里的f（x）我们千！万！不！要！拆！开！
f（x）=（x-a）（x-b）2
那么f（x）的零点显而易见是a和b
f'（x）=（x-b）2+（x-a）（2x-2b）【前导后不导加后导前不导】=（x-b）2+2（x-a）（x-b）=（x-b）（3x-2a-b）
x-b=0，x=b，3x-2a-b=0，x=（2a+b）/3
f'（x）的零点是b和（2a+b）/3
接下来我们就可以快乐地求a和b了
零点的集合是｛-3，1，3｝
说明｛（2a+b）/3，a，b｝=｛-3，1，3｝
下面我们要使用的方法相信很多人在小学就会了，那就是猜
这里有一个技巧，先从复杂的开始猜
也就是先猜（2a+b）/3的值
①（2a+b）/3=-3
这种情况可以直接排除，因为剩下的a和b是两个正数，不可能正数加正数再乘以3就变成一个负数
②（2a+b）/3=1
这种情况也是可以的，2a+b=3，那么如果a取3，b取-3就刚刚好满足
③（2a+b）/3=3
这种情况不可以，2a+b不论a和b哪个取1或者-3都满足不了2a+b=9
所以我们可以求出，a=3，b=-3
此时，我们很自然地就可以写出f（x）=（x-3）（x+3）2，f'（x）=3（x+3）（x-1）
算到这一步，f（x）的极小值不是手到擒来？
f'（x）图像（灵魂画手上线）：
根据图像我们可以直观地看出f（x）的单调性（如果你想列表求单调性我不拦着你）
f（x）在（-∞，-3），（1，+∞）上单调递增，在（-3，1）上单调递减
众所周知，极小值在函数f（x）先减再增的地方，那么，此题最小值应该是在x=1的地方取到
把x=1带入f（x）可得f（1）=-32
（3）男人看了会沉默，女人看了会流泪的第三小题来了！
看第三小题，我们应该想一下，这个4/25是怎么来的，既然可以小于等于4/25，那么我们试试能不能找到这个特殊的点，也就是M=4/25
皇天不负有心人，因为0＜b≤1，所以说明b=1肯定是一个特殊的值，我们把b=1带到f（x）试试
f（x）=x（x-1）²，f'（x）=（x-1）²+x（2x-2）【前导后不导加后导前不导】=（x-1）²+2x（x-1）=（x-1）（3x-1）
f'（x）图像（灵魂画手再次上线）：
此时，极大值应该是x取1/3的地方取得
M=f（1/3）=4/27
OMG！4/27这个跟题目挂钩的值居然求出来了，既然4/27是x=1/3时f（x）的值，那么我们等一下肯定要把某个值和1/3扯上关系
刚才b的值我们带了1，现在b的值不确定，我们重新写一下f（x）和f'（x）
f（x）=（x²-x）（x-b）=x3-（b+1）x2+bx
f'（x）=3x²-2（b+1）x+bx
既然要求极大值，那么肯定要像第二小题那样求出f'（x）的零点
看到这么复杂的式子，我们先不要急着用求根公式或者因式分解求出具体的零点的值
我们设f'（x）的两个零点为x1和x2，并且x2＞x1
f'（x）的图像：
易知f（x1）是f（x）的最大值
M=f（x1）=x13-（b+1）x12+bx1
既然要证明M≤4/27，那么我们x13-（b+1）x12+bx1≤4/27
接下来我们继续减少未知数，我们找找b和x1之间的关系
别忘了x1不仅仅是f（x）的极大值点，同时x1也是f'（x）的一个零点
f'（x1）=0
3x12-2x1=2bx1-b
b（2x1-1）=3x12-2x1
b=（2x12-2x1）/（2x1-2）
把b带回M，可得M=x13-[（3x12-2x1）/（2x1-1）+1]x12+x1（2x12-2x1）/（2x1-2）=[x12（x1-1）]/（1-2x1）
接下来我们就可以求M的取值范围了，这里我们为了看得直观一点，我们换元
看到这里不要慌，有更加便捷的方式求M
经过观察发现，分子可以拆成2个平方差公式
为了求M的取值范围，我们构造函数h（t）=t3-t/2+1/16t（暂时把-1/2抛开）
求导h'（t）=3t²-1/2-1/16t²，这里我们求一下t的取值范围
既然t=x1-1/2，那么我们就求一下x1的范围，x1跟b的关系在上面，如果用b=（2x12-2x1）/（2x1-2）来求x1的范围，肯定是不现实的（太麻烦了）
我们试一下能否通过图像来求出x1的范围
上面我们带过点了，当b=1的时候x1=1/3，那么b≠1的话我们再来看看x1和b的关系
前面我们知道x=1/3的时候是一个特殊点，这里我们带入试试f'（1/3）=（b-1）/3＜0顺便带一下f'（0）=b＞0，那么说明f'（x）的零点大于0，如图所示
这说明了x1的范围应该是0＜x1＜ 1/3
所以t的范围是-1/2＜t＜-1/6
t的范围求出来之后我们回到h'（t）=3t²-1/2-1/16t²，既然有个分母是未知数，我们就把整个式子写成分式，如图所示
这里我们因式分解一下，如果不会因式分解就用求根公式求解，分母16t²和分子（16t²+1）恒大于0我们就不管了
我们看（4t²-1），由于t的范围是-1/2＜t＜-1/6，所以（4t²-1）＜0，即h'（t）＜0，h（t）在-1/2＜t＜-1/6上单调递减
那么h（-1/6）＜h（t）＜h（-1/2）
h（-1/6）=-8/27，h（-1/2）=0
到了这边，不要忘了，我们刚才把-1/2留在了M的位置，我们现在拿回来
M=h（t）×（-1/2）
所以0＜M＜4/27
再把b=1的特殊情况和b≠1的情况综合一下，0＜M≤4/27
总结：第三小题的b先带特殊值1，然后求出了x=1/3时，M=4/27，接着我们有意识地把x1往1/3靠，最后通过一系列的换元，构造函数，求导解出最终答案
下面是规范解析：
小猿搜题版答案
学校公布的答案
本文 暂无 评论